Über die Dynamik von Schwertern

Es gibt zwei dominierende Modelle, die den Punkt bestimmen mit dem ein Schwert idealerweise im Ziel auftrifft. Ein Modell befasst sich mit den Biegeschwingungen eines Schwerts, besonders mit den Knoten der Grundschwingung; der Knoten, der sich in der Nähe des Orts des Schwerts befindet, wird oft als centre of percussion bezeichnet. [1, 2] Das andere Modell, das auch Gegenstand dieser Arbeit ist, berücksichtigt Translation und Rotation als Komponenten der Bewegung eines starren Körpers [3] beim Auftreffen. Es gibt einige umfassende Artikel über die Dynamik des Schwerts als starrer Körper, so von Turner [4], Denny [5] und Le Chevalier [6]; für ein weiterführendes Verständnis der Bedeutung und der möglichen Anwendung der Analyse eines Schwerts auf der Grundlage der Dynamik starrer Körper werden diese Artikel sehr empfohlen. Die physikalischen Grundlagen sind seit dem 17. Jahrhundert bekannt. [7] Bereits in einigen historischen Quellen zum Fechten [8, 9] wird die Dynamik starrer Körper verwendet, um die Stelle zu beschreiben, mit der eine Hiebwaffe idealerweise ihr Ziel trifft.

Dieser Artikel soll jenen als kurze Einführung dienen, die sich der Physik des Fechtens bislang nicht bewusst sind. Außerdem wird in diesem Artikel die Bedeutung des Trägheitsmoments für das Verhalten des Schwerts betont. Forscher und Hersteller sollen ermutigt werden, dieses grundlegende Maß, aus dem weitere Parameter berechnet werden können, zu bestimmen und anzugeben.

Bewegung des Schwerts

Zu jeder Zeit kann die Bewegung eines Schwerts als Überlagerung einer Rotation um eine Achse, einer Translation entlang einer Trajektorie und einer Vibration beschrieben werden. Da wir uns hier auf Treffer mit der Schneide beschränken, also den Gebrauch des Schwerts ohne signifikante Biegung, vernachlässigen wir die Vibration und betrachten das Schwert als ideal starren Körper. Jeder Körper hat einen Widerstand gegen eine Änderung der Translation, die Masse und gegen eine Änderung der Rotation, das Trägheitsmoment. Jede Punktmasse m_i in der Entfernung r_i von der Rotationsachse hat ein Trägheitsmoment J_i = m_i r_i^2. Das gesamte Trägheitsmoment J ist die Summe der Trägheitsmomente seiner Teile:
\begin{equation}
J = \sum_i m_i r_i^2
\end{equation}
Das Trägheitsmoment hängt nicht nur von der Massenverteilung des Körpers ab, sondern auch von der Lage des Körpers zu seiner Drehachse. Die Achse, für die das Trägheitsmoment am kleinsten ist, verläuft durch den Schwerpunkt und heißt dritte Hauptachse. Die dazu senkrechten Achsen, die die dritte Hauptachse im Schwerpunkt schneiden, sind die erste und die zweite Hauptachse. Die erste Hauptachse ist die Hauptachse mit dem größten Trägheitsmoment. Zudem hat die erste Hauptachse die größte Bedeutung für die Hiebbewegung des Schwerts. Zwar rotiert ein Schwert während eines Hiebs nicht notwendigerweise um die erste Hauptachse, jedoch üblicherweise um eine Achse, die parallel dazu verläuft. Für eine Achse, die parallel zu einer Achse durch den Schwerpunkt M liegt, für die das Trägheitsmoment J_M bekannt ist, kann das Trägheitsmoment J_x nach dem Satz von Steiner über den Abstand r_x zwischen der Rotationsachse und der parallelen Achse durch den Schwerpunkt bestimmt werden:
\begin{equation}\label{gl02}
J_x = J_M + m r_x^2
\end{equation}
Es ist zu beachten, dass das Trägheitsmoment J_x umso größer ist, je weiter die Achse vom Schwerpunkt M entfernt liegt. Da das Trägheitsmoment den Widerstand gegen eine Änderung der Rotation beschreibt, bedeutet das, dass Waffen wie Streitäxte oder Streitkolben mit einem größeren Abstand zwischen Rotationsachse und Schwerpunkt im Allgemeinen schwieriger zu führen sind, aber auch schwieriger zu stoppen für die Rüstung des Gegners. Der größere Abstand zwischen der Rotationsachse und dem Schwerpunkt und das damit größere Trägheitsmoment bewirken auch den Unterschied zwischen einem Oberhau und einem Mordhau.

Schwert als physikalisches Pendel und ein mathematisches Pendel mit derselben Eigenkreisfrequenz

Abb. 1: Das Schwert als physikalisches Pendel und ein mathematisches Pendel mit derselben Eigenkreisfrequenz \omega_0

Das Schwert als physikalisches Pendel

Eine Punktmasse, die in einem homogenen Schwerefeld um eine Achse schwingen kann, heißt mathematisches Pendel. Im Gegensatz dazu wird ein ausgedehnter starrer Körper beliebiger Form, der in einem homogenen Schwerefeld um eine Achse schwingen kann, physikalisches Pendel genannt. Die Eigenkreisfrequenz \omega_0 eines mathematischen Pendels ist durch seine Länge l und die Fallbeschleunigung g definiert. Die Länge eines mathematischen Pendels, das mit derselben Eigenkreisfrequenz \omega_0 wie ein physikalisches Pendel schwingt, heißt reduzierte Pendellänge l_r. Der Punkt, der sich l_r unterhalb der Aufhängung P des ruhenden physikalischen Pendels befindet, heißt Schwingungsmittelpunkt. In einem mathematischen Pendel fallen der Schwerpunkt und der Schwingungsmittelpunkt zusammen, während diese Punkte in einem physikalischen Pendel im Allgemeinen voneinander verschieden sind.

Reduzierte Pendellänge

Um die reduzierte Pendellänge und damit die Position des Schwingungsmittelpunkts zu bestimmen, verwenden wir den Energieerhaltungssatz. Ohne Reibung ist die Summe aus Rotationsenergie E_\text{rot} und potenzieller Energie E_\text{pot} konstant:
\begin{equation}\label{gl03}
E_\text{gesamt} = E_\text{rot} + E_\text{pot}
\end{equation}
Die Rotationsenergie ist E_\text{rot} = J_P  \dot{\alpha}^2/2 mit dem Trägheitsmoment J_P um die Achse P und der Winkelgeschwindigkeit \dot{\alpha} = d\alpha/dt. Die potenzielle Energie einer Masse m im Schwerefeld mit einer Fallbeschleunigung g und einer Auslenkung \alpha ist E_\text{pot} = mgr_P(1-\cos{\alpha}), was für kleine Auslenkungen \alpha \ll \pi/2 genähert werden kann als E_\text{pot} \approx mgr_P\alpha^2/2. Mit Gl. (3) ergibt sich damit:
\begin{equation}
E_\text{gesamt} = \frac{J_P}{2}\dot{\alpha}^2 + \frac{m g r_P}{2}\alpha^2
\end{equation}
Mit der Ableitung nach der Zeit t folgt daraus die einfache Schwingungsgleichung:
\begin{equation}
0 = J_P \ddot{\alpha} + m g r_P \alpha
\end{equation}
Damit ist die Auslenkung \alpha = \alpha_0 \sin(\omega_0 t + \varphi) mit der Amplitude \alpha_0, dem Phasenwinkel \varphi und der Eigenkreisfrequenz
\begin{equation}\label{gl06}
\omega_0 = \sqrt{\frac{m g r_P}{J_P}}
\end{equation}
Ein mathematisches Pendel derselben Eigenkreisfrequenz \omega_0 hat die Länge l = g/\omega_0^2. Daraus folgt mit Gl. (6) für die reduzierte Pendellänge, d. h. den Abstand zwischen Achse P und Schwingungsmittelpunkt O
\begin{equation}\label{gl07}
l_r = \frac{J_P}{m r_P}
\end{equation}
Es kann gezeigt werden [3, 10], dass die Relation zwischen der Aufhängung P und dem Schwingungsmittelpunkt O symmetrisch ist. Ist also O der Schwingungsmittelpunkt zur Aufhängung P, so ist P auch der Schwingungsmittelpunkt zur Aufhängung O. Daher haben die Schwingungen um P und O auch dieselbe reduzierte Pendellänge l_r und dieselbe Eigenkreisfrequenz \omega_0.

Ein mathematisches Pendel mit der reduzierten Pendellänge l_r eines physikalischen Pendels hat dieselbe Eigenkreisfrequenz \omega_0 und kann – da die Eigenkreisfrequenz eines mathematischen Pendels nicht von seiner Masse abhängt – entweder dieselbe Masse oder dasselbe Trägheitsmoment wie das physikalische Pendel besitzen, im Allgemeinen jedoch nicht beides. Die Bewegung eines physikalischen Pendels hängt von drei Parametern ab, z. B. Masse m, Abstand r_P zwischen Aufhängung und Schwerpunkt und dem Abstand l_r zwischen Aufhängung und Schwingungsmittelpunkt. In einem mathematischen Pendel entarten r_P, l_r und der Trägheitsradius R_g zur Pendellänge l. Da ein mathematisches Pendel über zwei Parameter definiert ist (Länge und Masse), kann es nicht jeden Aspekt eines physikalischen Pendels mit drei Parametern abbilden. Daher schlagen Turner [4] und Le Chevalier [6] Zweimassenmodelle vor, um die dynamischen Aspekte eines Schwerts zu beschreiben.

Randbemerkung: Trägheitsradius

Die reduzierte Pendellänge darf nicht mit dem Trägheitsradius R_g verwechselt werden. Der Trägheitsradius R_{g} ist definiert als die Distanz von der Achse P, in der sich die gesamte Masse m eines physikalischen Pendels befinden müsste, um einen Körper derselben Masse m und desselben Trägheitsmoments J_P wie das ursprüngliche physikalische Pendel zu bilden, das heißt
\begin{equation}
R_{g} = \sqrt{\frac{J_P}{m}}
\end{equation}
und damit R_g^2 = r_P l_r. Der Trägheitsradius R_g charakterisiert die Massenverteilung um eine gegebene Achse P. Ersetzt man J_P mit m R_g^2 in Gl. (6), so ergibt sich
\begin{equation}\label{eq:frequencygyration}
\omega_0^2 = \frac{m g r_P}{J_P} = \frac{m g r_P}{m R_g^2} = \frac{g r_P}{R_g^2}
\end{equation}
Damit hängt die Eigenfrequenz eines physikalischen Pendels nicht von der Masse selbst ab, sondern von der Massenverteilung, die durch den Trägheitsradius R_g beschrieben wird. Zwei homogene physikalische Pendel mit unterschiedlicher Dichte aber denselben geometrischen Abmessungen und äquivalenten Achsen haben dieselbe Eigenfrequenz.

Das Schwert und der Einschlag

Eine Kraft F, die an einem starren Körper an einer anderen Stelle als dem Schwerpunkt M angreift, kann ersetzt werden durch eine parallele Kraft F' desselben Betrags, die im Schwerpunkt M angreift und ein Drehmoment D' um den Schwerpunkt M. Betrachtet man ein Schwert als physikalisches Pendel mit der Aufhängung P, dem Schwingungsmittelpunkt O, der reduzierten Pendellänge l_r und der Masse m, dann kompensieren sich an der Stelle P die Beschleunigung a_{F'} durch die Kraft F' und die Beschleunigung a_{D'} durch das Drehmoment D', wenn die Kraft F im Schwingungsmittelpunkt O angreift.

Die Beschleunigung a_{F'} durch die Kraft F' ist a_{F'} = F'/m in P ebenso wie in M. Die Winkelbeschleunigung \ddot{\alpha} um den Schwerpunkt M durch das Drehmoment D' = F r_O ist \ddot{\alpha} = D'/J_M = F r_O/J_M. Die lineare Beschleunigung in der Aufhängung P durch \ddot{\alpha} ist a_{D'} = \ddot{\alpha} r_P = F r_P r_O/J_M. Das Trägheitsmoment J_M um den Schwerpunkt M kann nach dem Satz von Steiner (2) ausgedrückt werden als J_M = J_P - m r_P^2. Damit folgt
\begin{equation}
a_{D'} = \frac{F r_P r_O}{J_P - m r_P^2}
\end{equation}
Nach Gl. (7) kann man J_P mit m r_P l_r ersetzen und erhält
\begin{equation}
a_{D'} = \frac{F r_P (l_r - r_P)}{m r_P l_r - m r_P^2} = \frac{F}{m} = a_{F'}
\end{equation}

Das bedeutet, dass ein Schwert, das mit dem Schwingungsmittelpunkt O trifft, beim Auftreffen keine Beschleunigung (aber ein Drehmoment) in die zugehörige Aufhängung P überträgt.

Messung

Wie oben gezeigt wurde, kann die Reaktion eines starren Körpers auf äußere Kräfte bestimmt werden, wenn die Masse m, der Schwerpunkt M und das Trägheitsmoment J bekannt sind. Ohne das Trägheitsmoment kann die Reaktion eines starren Körpers auf exzentrische Kräfte nicht bestimmt werden. Aus den Gleichungen (2) und (7) ist ersichtlich, dass das Trägheitsmoment aus der reduzierten Pendellänge berechnet werden kann und umgekehrt.

Turner [4] und Le Chevalier [6] schlagen den sogenannten waggle test als Methode zur Bestimmung der reduzierten Pendellänge l_r vor. Bei diesem Verfahren wird das Schwert locker an der Aufhängung gehalten und vorsichtig in Richtung der Schneiden geschüttelt. Der unbeschleunigte Punkt des Schwerts ist der entsprechende Schwingungsmittelpunkt. Trotz der ausführlichen Erklärungen der Autoren zur korrekten Ausführung des Verfahrens sollte bedacht werden, dass Präzision und Genauigkeit der Punktepaare von der Fähigkeit des Experimentators abhängen, ein Schwert ohne radiale Komponente zu schütteln und dabei den Punkt des wackelnden Schwerts zu identifizieren, der sich am wenigsten bewegt.

Das Trägheitsmoment ist nicht nur für die Dynamik von Schwertern von Bedeutung, sondern auch in der Automobilindustrie, bei der Vermessung von Golfschlägern und einigen anderen Anwendungen. Zwar kann das Trägheitsmoment mit exakten Dichteangaben mit Hilfe von CAD numerisch bestimmt werden, jedoch reicht die Genauigkeit der Eingabewerte möglicherweise nicht aus, um das Trägheitsmoment hinreichend exakt zu berechnen. In solchen Fällen bietet es sich an, das Trägheitsmoment durch Messung zu bestimmen. Üblicherweise wird das Objekt dazu mit Hilfe eines trifilaren Torsionspendels oder eines Drehpendels mit Spiralfeder in harmonische Schwingung versetzt. Aus der Schwingungsdauer lässt sich dann das Trägheitsmoment des Objekts bestimmen. [10]

Zusammenfassung

Masse und Schwerpunktlage zusammen mit den geometrischen Abmessungen genügen nicht, um die Eigenschaften eines starren Körpers zu definieren. Forscher und Hersteller, die Hiebwaffen charakterisieren wollen, sollten ebenfalls das Trägheitsmoment für zumindest die erste Hauptachse oder eine dazu parallele Achse bestimmen, um brauchbare Daten zu erhalten, die die Bewegung der Waffe beschreiben. Das Trägheitsmoment kann mit Hilfe eines Drehpendels gemessen werden. [10]

Alternativ kann das Trägheitsmoment auch von der reduzierten Pendellänge hergeleitet werden (und umgekehrt), die ohne zusätzliche Ausrüstung mit dem waggle test bestimmt werden kann. Die Genauigkeit dieser Methode hängt jedoch sehr von den Fähigkeiten des Experimentators ab, weshalb dieses Verfahren vermieden werden sollte.

Im Kontext der Charakterisierung von Schwertern werden sowohl der ortseitige Schwingungsknoten als auch der Schwingungsmittelpunkt centre of percussion genannt. Um Verwechslungen zu vermeiden, sollten eindeutig bestimmte Begriffe verwendet werden wie Schwingungsknoten bzw. Schwingungsmittelpunkt zu einer bestimmten Achse.

Notation

Zeichen Bedeutung
a Beschleunigung
D, D' Drehmoment
E_\text{pot} potenzielle Energie
E_\text{rot} Rotationsenergie
F, F' Kraft
g Fallbeschleunigung; Ortsfaktor
J_x Trägheitsmoment in Bezug auf die Achse x
l Länge eines mathematischen Pendels
l_r reduzierte Pendellänge; effective length [4]; dynamic length [6]
m Masse
M Schwerpunkt; Massenmittelpunkt
O Schwingungsmittelpunkt
P Rotationsachse eines Pendels
R_g Trägheitsradius
r_x Abstand zwischen x und dem Schwerpunkt
t Zeit
\alpha Auslenkung
\dot{\alpha} Winkelgeschwindigkeit
\ddot{\alpha} Winkelbeschleunigung
\alpha_0 Amplitude
\pi Verhältnis des Umfangs eines Kreises zum Durchmesser; 3,14159…
\varphi Phasenwinkel
\omega_0 Eigenkreisfrequenz

Literatur

  • [1] T. Laible. Das Schwert – Mythos und Wirklichkeit. 2. Aufl. Wieland Verlag, 2008.
  • [2] H. Schmidt. Vibration of the blade and how to use it. Hroarr. 2014. URL: http://www.hroarr.com/vibration-of-the-blade-and-how-to-use-it/.
  • [3] H. Vogel. Gerthsen Physik. 20. Aufl. Springer, 1999.
  • [4] G. L. Turner. Dynamics of Hand-Held Impact Weapons. Association for Renaissance Martial Arts. 2002. URL: http://armor.typepad.com/bastardsword/sword_dynamics.pdf.
  • [5] M. Denny. “Swordplay: an exercise in rotational dynamics”. In: European Journal of Physics 27.4 (Juli 2006), S. 943–950. DOI: 10.1088/0143-0807/27/4/025.
  • [6] V. Le Chevalier. A dynamic method for weighing swords. Ensis Sub Caelo. 2010. URL: http://www.subcaelo.net/ensis/weighing/weighing.pdf.
  • [7] C. Huygens. Horologium oscillatorium sive de motu pendulorum ad horologia aptato demonstrationes geometricæ. F. Muguet, 1673.
  • [8] A. Fehn. Die Fechtkunst mit Stoß- und Hiebwaffen. Carl Rümpler, 1851.
  • [9] R. F. Burton. The Book of the Sword. Chatto & Windus, 1884.
  • [10] T. Dorfmüller, W. T. Hering und K. Stierstadt. Bergmann/Schaefer Lehrbuch der Experimentalphysik. 11. Aufl. Bd. 1. Walter de Gruyter, 1998.
CC BY
Dieser Text des Autorenkollektivs Tremonia Fechten steht unter
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